© Carmen María Bosque Matés-Juan Gordillo Lobato

DERIVADAS

  1. Función derivable en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica. Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
  2. Concepto de función derivada. Cálculo de derivadas.
  3. Monotonía de una función derivable. Extremos relativos.
  4. El teorema de Rolle. El teorema del valor medio de Lagrange. La regla de L'Hôpital.
  5. Puntos críticos de una función.
  6. Representación gráfica de funciones.


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DEFINICIÓN

Sea (f,D) una función. Se llama gráfica de la función al conjunto de puntos del plano de la forma (x,f(x)) cuando x varía en D:
gráfica(f) = {(x,f(x)/x c D}
Para representar gráficamente una función, como no se pueden conocer los infinitos puntos que componen dicho conjunto, nos limitamos a aquellos pares donde la función tiene un comportamiento especial, para así realizar un esbozo de la gráfica de la función.

Se pueden seguir distintos esquemas, dependiendo de la naturaleza del ejercicio o de las características de la función; sirva el siguiente como ejemplo:
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DOMINIO, CAMPO DE EXISTENCIA O CAMPO DE DEFINICIÓN

Es el conjunto de valores de la variable independiente para los cuales tiene significado real la función (es decir, tiene «sentido» calcular las imágenes).

Recordemos las operaciones que afectan significativamente al dominio: arriba

RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS

Se dice que una recta r es una asíntota de la curva y = f(x) cuando la distancia entre un punto de la curva y la recta dada tiende hacia cero cuando el punto de la curva recorre una rama infinita.

Las asíntotas que se estudian son:

Asíntotas verticales:

Son rectas de la forma x = a, paralelas al eje OY, y esto sucede cuando , bien por la derecha o por la izquierda.

Asíntotas horizontales:

Son rectas de la forma y = b, paralelas al eje OX, y esto sucede cuando , bien por la derecha, bien por la izquierda, bien en ambos sentidos.

Asíntotas oblicuas:

Son rectas de la forma y = mx + n, donde y siendo ambos números reales.
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PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES. PUNTOS AUXILIARES. REGIONAMIENTO

Con los puntos de corte con los ejes y con las asíntotas verticales se estudia el signo de la función (regionamiento).

Como puntos auxiliares se pueden calcular los puntos donde la gráfica de la función corta a las asíntotas.
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SIMETRÍAS

Función par

Se dice que una función es par si es simétrica respecto del eje OY, es decir, si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (-x,y) también lo es, o lo que es lo mismo: f(x) = f(-x)
.

Función impar

Se dice que una función es impar sies simétrica respecto del origen de coordenadas,es decir, si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (-x,-y) también lo es, o lo que es lo mismo: f(x) = -f(-x).

Se dice que una curva es simétrica respecto del eje OX si se verifica que si (x,y) es un punto cualquiera de la gráfica de la función, entonces (x,-y) también lo es. Hacemos notar que en este caso la gráfica no corresponde a ninguna función, ya que un mismo original tendría dos imágenes.

El interés de la simetría consiste en reducir el dominio de la función, así se realiza el estudio para ciertos valores de la variable independiente (suelen ser las abscisas positivas) y por simetría dibujar la gráfica completa.
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PERIODOS

Se dice que una función es periódica de periodo T , si T es el menor número real positivo que satisface la relación f(x) = f(x+T).

Las funciones periódicas más usuales son las que aparecen funciones trigonométricas o las que aparece la función parte entera.

Al igual que antes, se dibuja la gráfica en un periodo, y se multiplica dicha gráfica a derecha e izquierda.
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INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Se estudian con la derivada primera de la función. Recordemos que:
(Recordar las caracterizaciones cuando las primeras derivadas se anulan)

Con los resultados así obtenidos se realiza un cuadro, para ver más claro el comportamiento de la función.
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INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Se estudian con la derivada segunda de la función. Recordemos que:
(Recordar las caracterizaciones cuando las segundas derivadas se anulan)

Con los resultados así obtenidos se realiza un cuadro, para ver más claro el comportamiento de la función.
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, se esboza, sobre unos ejes cartesianos, la gráfica de la función.
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