© Carmen María Bosque Matés-Juan Gordillo Lobato

DERIVADAS

  1. Función derivable en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica. Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
  2. Concepto de función derivada. Cálculo de derivadas.
  3. Monotonía de una función derivable. Extremos relativos.
  4. El teorema de Rolle. El teorema del valor medio de Lagrange. La regla de L'Hôpital.
  5. Puntos críticos de una función.

  6. Representación gráfica de funciones.

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MÁXIMOS Y MíNIMOS

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:
  1. Por la definición en un entorno del punto.
  2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
    1. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).
    2. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).

    EJEMPLOS


  3. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
    1. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
    2. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

Demostración:
  1. Por ser f´´(x) > 0 es creciente en un entorno de a: a - h < a < a + h. Entonces:
  2. Demostración análoga.


Interpretación geométrica

Al ser f´(a) = 0, (a,f(a)) es de tangente horizontal.
  1. Si f´´(a) > 0, en un entorno de a es f´´(x) > 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.
  2. Si f´´(a) < 0, en un entorno de a es f´´(x) < 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos disminuyen.
Recordemos que los máximos y mínimos absolutos se encuentran entre los extremos relativos y aquellos en los que la función no es derivable o, ni siquiera, continua. arriba

CONVEXIDAD Y CONCAVIDAD

Definiciones:

Una función es convexa si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada punto, es decir:
f(x) > f(a) + f´(a) · (x - a)

Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada punto, es decir:
f(x) < f(a) + f´(a) · (x - a)

Criterios de concavidad o convexidad:

  1. Por la derivada primera:
    1. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes aumentan ( creciente).
    2. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes disminuyen ( decreciente).
  2. Por la derivada segunda:
    1. Si f es convexa entonces creciente, por lo tanto f´´ > 0
    2. Si f es cóncava entonces decreciente, por lo tanto f´´ < 0
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PUNTO DE INFLEXIÓN

Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.

Proposición.

Sea f dos veces derivable en a.
Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

Demostración:
Si es f´´(a) > 0 ó f´´(a) < 0 y sería convexa o cóncava.

INTERPRETACIóN GRáFICA

La recta tangente en un punto de inflexión atraviesa a la gráfica de la función.
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FÓRMULA DE TAYLOR

Si f admite derivadas hasta el orden n y son continuas en el intervalo [a,x] y además existe la derivada de orden n+1 en cualquier punto del intervalo (a,x), se verifica:
siendo .

Este teorema es la «generalización» del teorema de Lagrange. Para su demostración se aplica el teorema de Rolle a la función , siendo:
Al término se le llama resto de Lagrange.
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CRITERIOS PARA LA MONOTONÍA Y LOS EXTREMOS RELATIVOS

Sea f una función que admite derivadas hasta el orden n al menos, de forma que en a se anulan las n - 1 primeras derivadas, y la primera que no se anula es de orden n. En la fórmula de Taylor se tiene: y al tomar límites cuando x   >a existe un entorno de a donde: , y por tanto:
  1. Si n es impar:
    1. Si
    2. Si
  2. Si n es par:
    1. Si
    2. Si
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CRITERIOS PARA CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

Si f es una función que admite derivadas hasta el orden n al menos, y tal que:
por la fórmula de Taylor se tiene: y tomando límites cuando x   >a se tiene que en un entorno de a:
Si nos fijamos en el primer término de la igualdad, se estudia el signo de la función comparándola con el signo de la recta tangente, por lo tanto: Por lo tanto:
  1. Si n es par:
    1. Si
    2. Si
  2. Si n es impar, el signo cambia según estemos a la izquierda o a la derecha de a, por lo tanto habrá un punto de inflexión.

EJEMPLO 1

f(x) = x4 en a = 0. Es:
Por lo tanto, la función es convexa y presenta un mínimo relativo.

EJEMPLO 2

f(x) = x5 en a = 0. Es:
Por lo tanto, la función es creciente y presenta un punto de inflexión.

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