© Carmen María Bosque Matés-Juan Gordillo Lobato

DERIVADAS

  1. Función derivable en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica. Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
  2. Concepto de función derivada. Cálculo de derivadas.

  3. Propiedades locales de una función derivable: continuidad, crecimiento y decrecimiento.
  4. Puntos críticos de una función.

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CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.

Una función es derivable en un conjunto si es derivable en todos los puntos de dicho conjunto.

Si una función (f,D) es derivable en un subconjunto de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocia a cada número real de la derivada de f en ese punto:


La función así definida se llama función derivada o, simplemente, derivada de f. Se nota por o también por Df(x).

De la misma forma, a partir de la derivada primera se puede definir, si existe, su derivada, y que recibe el nombre de derivada segunda:


Y así sucesivamente las demás.

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DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DERIVABLE.

Consideramos una función derivable de la que conocemos los valores f(a) y f´(a). Supongamos que queremos hallar el valor de f en un punto a + h, siendo f(a+h) difícil de calcular. Podemos obtener una aproximación de este valor si en lugar de hallarlo por f lo calculamos mediante la tangente a la curva en a.


Construimos la recta tangente a y =f(x) en el punto ( a , f(a) ):


El valor aproximado será:


Es decir:


Al término f´(a)·h se le llama diferencial de f en a con incremento h.

EJEMPLO 1

Queremos calcular aproximadamente.
Consideramos la función .
Su derivada es .
Si tomamos la diferencial de esta función para a = 9 y h = 1 tenemos:

El valor real es: 3´1622776... con error menor de cinco milésimas.

Para cada x, donde f es derivable, definimos:


Si calculamos la diferencial para la función identidad:


es decir, podemos escribir h = dx, y la diferencial queda: df(x) = f´(x) dx llamada diferencial de f; y al término dx se le denomina diferencial de x.

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DERIVADAS Y CONTINUIDAD.

DEFINICIONES

Una función es derivable en un intervalo abierto (a , b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Una función es derivable en un intervalo cerrado [a , b] si lo es en el abierto (a , b) y es derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.

TEOREMA DE CONTINUIDAD
Si una función es continua en un punto entonces es derivable.

Demostración:

Vamos a demostrar esto último:



El recíproco del teorema no siempre es cierto. Existen funciones continuas en un punto que no son derivables en el mismo.

EJEMPLO 2

Consideremos la función:

Es , luego f es continua en x = 0. Sin embargo:


es decir, las derivadas laterales no coinciden, y la función no es derivable en x = 0.


arriba

DERIVADAS Y OPERACIONES.


Sean en adelante f y g dos funciones derivables y c C R. Entonces:

1) DERIVADA DE LA SUMA
f + g es derivable y (f + g)´ = f´ + g´

Demostración:
Paso 1: (f + g)(x + h) = f(x + h) + g(x + h)
Paso 2: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Paso 3: (f + g)(x + h) - (f + g)(x) = f(x + h) + g(x + h) - [(f(x) + g(x)] = [f(x + h) - f(x)] + [g(x + h) - g(x)]
Paso 4: [(f + g)(x + h) - (f + g)(x)]/h = [f(x + h) - f(x)]/h + [g(x + h) - g(x)]/h
Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos:
(f + g)´(x) = f´(x) + g´(x)


2) DERIVADA DEL PRODUCTO POR ESCALARES
c·f es derivable y (c·f)´ = c·f´

Demostración:
Paso 1: (c·f)(x + h) = c·f(x + h)
Paso 2: (c·f)(x) = c·f(x)
Paso 3: (c·f)(x + h) - (c·f)(x) = c·f(x + h) - c·f(x) = c·[f(x + h) - f(x)]
Paso 4: [(c·f)(x + h) - (c·f)(x)]/h = c·[f(x + h) - f(x)]/h
Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos:
(c·f)´(x) = c·f´(x)


Estas dos propiedades son muy importantes, ya que demuestran la LINEALIDAD de la derivación:

«Un operador se dice que es LINEAL si respeta las operaciones suma y producto por escalares

3) DERIVADA DE LA DIFERENCIA
f - g es derivable y (f - g)´ = f´ - g´

Demostración:
(f - g)´(x) = [f + (- g)]´(x) = por 1) = f´(x) + [(-1)·g]´(x) = por 2) = f´(x) + (-1)·g´(x) = f´(x) - g´(x)


4) DERIVADA DEL PRODUCTO
f · g es derivable y (f · g)´ = f´ · g + f · g´

Demostración:
Paso 1: (f · g)(x + h) = f(x + h) · g(x + h)
Paso 2: (f · g)(x) = f(x) · g(x)
Paso 3: (f · g)(x + h) - (f · g)(x) = f(x + h) · g(x + h) - f(x) · g(x) = f(x + h) · g(x + h) - f(x) · g(x + h) + f(x) · g(x + h) - f(x) · g(x) (Le sumamos y restamos el término f(x) · g(x + h))
Paso 4: [(f · g)(x + h) - (f · g)(x)]/h = [f(x + h) · g(x + h) - f(x) · g(x + h) + f(x) · g(x + h) - f(x) · g(x)]/h = g(x + h) · [f(x + h) - f(x)]/h + f(x) · [g(x + h) - g(x)]/h
Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos: Por lo tanto:
(f · g)´(x) = f´(x) · g(x) + f(x) · g´(x)


5) DERIVADA DE LA INVERSA PARA EL PRODUCTO
Si f es distinta de cero, 1/f es derivable y (1/f)´ = -f´/f2

Demostración:
Paso 1: (1/f)(x + h) = 1/f(x + h)
Paso 2: (1/f)(x) = 1/f(x)
Paso 3: (1/f)(x + h) - (1/f)(x) = 1/f(x + h) - 1/f(x) = [f(x) - f(x + h)]/[f(x + h) · f(x)]
Paso 4: [(1/f)(x + h) - (1/f)(x)]/h = [-(f(x + h) - f(x))]/[f(x + h) · f(x) · h]
Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos: Por lo tanto:


6) DERIVADA DEL COCIENTE
Si f es distinta de cero, f/g es derivable y (f/ g)´ = [f´ · g - f · g´]/g2

Demostración:
(f/g)´(x) = [f · (1/g)]´(x) = por 4) = f´(x) · 1/g(x) + f(x) · (1/g)´(x) = por 5) = f´(x)/g(x) + [f(x) · g´(x)]/g2(x) = [f´(x) · g(x) - f(x) · g´(x)]/g2(x)
Es decir:


7) DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN. REGLA DE LA CADENA
Si f es derivable en a y g es derivable en f(a), entonces f o g es derivable en a, y (f o g)´(a) = g´[f(a)] · f´(x)

Demostración:


8) DERIVADA DE LA INVERSA PARA LA COMPOSICIÓN
Sea f derivable en a, y sea f -1 la inversa de f para la composición. Entonces f -1 es derivable en f(a), y:

Demostración:


arriba

TABLA DE DERIVADAS.


  1. Función constante
    Si f(x) = c C R es f´(x) = 0

    Demostración:
    Paso 1: f(x + h) = c
    Paso 2: f(x) = c
    Paso 3: f(x + h) - f(x) = c - c = 0
    Paso 4: [f(x + h) - f(x)]/h = 0
    Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos:
    f´(x) = 0


  2. Función identidad
    Si f(x) = x es f´(x) = 1

    Demostración:
    Paso 1: f(x + h) = x + h
    Paso 2: f(x) = x
    Paso 3: f(x + h) - f(x) = x + h - x = h
    Paso 4: [f(x + h) - f(x)]/h = h/h = 1
    Tomando el límite cuando h -->0 obtenemos:
    f´(x) = 1


  3. Función logarítmica
    Si f(x) = ln(x) es f´(x) = 1/x

    Demostración:


    NOTA

    Esta derivada es muy importante, ya que, junto con la regla de la cadena, nos va a simplificar el cálculo de la mayoría de las derivadas.

  4. Derivada de una potencia
    Si f(x) = x a, con a C R, es f´(x) = a · x a-1
    Para demostrar esta propiedad vamos a utilizar un método llamado derivación logarítmica.
    El método se suele usar para calcular la derivada de una función en la que la variable aparece en el exponente. Tomando logaritmos, el exponente pasa multiplicando al logaritmo de la base, y sólo hay que derivar un producto.

    Demostración:
    f(x) = x a
    ln(f(x)) = ln[x a] = a · ln(x)
    . Derivando en ambos mienbros:
    [ln(f(x))]´ = [a · x]´, y teniendo en cuenta la regla de la cadena:
    f´(x)/f(x) = a/x. Despejando:
    f´(x) = [a · f(x)]/x = [a · x a]/x = a · x a - 1


  5. Función exponencial
    Si f(x) = e x es f´(x) = e x

    Demostración:
    Vamos a calcular esta derivada por
    derivación logarítmica:
    Llamamos y = e x
    Tomamos logaritmos: ln(y) = ln[e x] = x · ln(e) = x
    Ahora derivamos, teniendo en cuenta que y es una función de x, y por lo tanto hay que aplicar la regla de la cadena: y´ / y = 1
    Despejando y sustituyendo: y´ = y = e x


  6. Función exponencial de base a > 0
    Si f(x) = a x es f´(x) = a x · ln(a)

    Demostración:
    Vamos a calcular esta derivada por derivación logarítmica:
    Llamamos y = a x
    Tomamos logaritmos: ln(y) = ln[a x] = x · ln(a)
    Derivando: y´ / y = ln(a)
    Despejando y sustituyendo: y´ = y · ln(a) = ax · ln(a)


  7. Función logarítmica de base a > 0
    Si f(x) = loga(x) es f´(x) = 1/x · 1/ln(a) = loga(e) · 1/x

    Demostración:
    Se puede calcular esta derivada por dos caminos:
    1°: Aplicando las propiedades de los logaritmos.
    Por la fórmula del cambio de base: loga(x) = [ln(x)]/[ln(a)], y derivando:
    f´(x) = 1/x · 1/ln(a)
    2°:Por si no te acuerdas de la fórmula del cambio de base:
    loga(x) = y <=> a y = x <=> derivando y´ · ln(a) · a y = 1 <=> y´ = 1/ln(a) · 1/a y = 1/ln(a) · 1/x


  8. Función seno
    Si f(x) = sen(x) es f´(x) = cos(x)

    Demostración:
    Paso 1: f(x + h) = sen(x + h) = sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h)
    Paso 2: f(x) = sen(x)
    Paso 3: f(x + h) - f(x) = sen(x) · cos(h) + cos(x) · sen(h) - sen(x) = sen(x) · [cos(h) - 1] + cos(x) · sen(h)
    Paso 4: [f(x + h) - f(x)]/h = sen(x) · [cos(h) - 1]/h(1) + cos(x) · sen(h)/h(2)
    Tomando el límite cuando h -->0 en cada sumando tenemos que:
    (1) el límite de [cos(h) - 1]/h es 0, por tanto el primer sumando da 0
    (2) el límite de sen(h)/h es 1, por tanto el segundo sumando da 1 · cos(x)
    Luego:
    f´(x) = cos(x)


  9. Función coseno
    Si f(x) = cos(x) es f´(x) = - sen(x)

    Demostración:
    y = cos(x) = sen(π - x)
    Derivando: y´ = cos(π - x) · (-1) = - sen(x)


  10. Función tangente
    Si f(x) = tg(x) es f´(x) = 1 + [tg(x)] 2 = 1/[cos(x)] 2

    Demostración:
    y = tg(x) = [sen(x)]/[cos(x)]
    Derivando: y´ = [cos(x) · cos(x) - sen(x) · (-sen(x))]/cos 2(x) = [cos 2(x) + sen 2(x)]/cos 2(x)(1) = 1/[cos(x)] 2
    Si en (1) dividimos cada sumando, obtenemos: y´ =1 + [tg(x)] 2


  11. Función cotangente
    Si f(x) = ctg(x) es f´(x) = -1 - [ctg(x)] 2 = -1/[sen(x)] 2

    Demostración:
    Análoga a la anterior.


  12. Función arcoseno
    Si f(x) = arcsen(x) es

    Demostración:
    y = arcsen(x) => sen(y) = x.
    Derivando: y ´ · cos(y) = 1, de donde y ´ = 1/cos(y).
    Como [sen(x)] 2 + [cos(x)] 2 = 1, es
    Sustituyendo:


  13. Función arcocoseno
    Si f(x) = arccos(x) es

    Demostración:
    Análoga a la anterior.


  14. Función arcotangente
    Si f(x) = arctg(x) es

    Demostración:
    y = arctg(x) => tg(y) = x.
    Derivando: y ´ · [1 + tg 2(y)] = 1, de donde y ´ = 1/[1 + tg 2(y)] = 1/(1 + x 2).


  15. Función arcocotangente
    Si f(x) = arcctg(x) es

    Demostración:
    Análoga a la anterior.



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