© Carmen María Bosque Matés-Juan Gordillo Lobato

DERIVADAS

  1. Función derivable en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica. Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.

  2. Concepto de función derivada. Cálculo de derivadas.
  3. Monotonía de una función derivable. Extremos relativos.
  4. El teorema de Rolle. El teorema del valor medio de Lagrange. La regla de L'Hôpital.
  5. Puntos críticos de una función.
  6. Representación gráfica de funciones.

volver al índice siguiente apartado

arriba

FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO.

Sea (f,D) una función y c c D. Se dice que f es derivable en a, si existe:


A dicho límite (que es un número real) se le llama derivada de f en a, y se nota por f'(a).

La expresión anterior es equivalente a:

sin más que tomar x = a + h => h = x - a. De esta manera, si x->a => h->0.

Para calcular dicho límite, y con objeto de aclarar los cálculo, usamos la llamada regla de los cuatro pasos, que consiste en calcular cada expresión independientemente.

EJEMPLO 1

Vamos a calcular la derivada de la función f(x) = x2 - 3x + 2 en el punto de abscisas x = 4.
Paso 1: f(4+h) = (4+h)2 - 3(4+h) + 2 = 16 + 8h + h2 - 12 - 3h + 2 = h2 + 5h + 6
Paso 2: f(4) = 42 - 3·4 + 2 = 16 - 12 + 2 = 6
Paso 3: f(4+h) - f(4) = h2 + 5h + 6 - 6 = h2 + 5h
Paso 4: [f(4+h) - f(4)]/h = (h2 + 5h)/h = h + 5
Tomando el límite cuando h ->0 obtenemos:
f'(4) = 5
arriba

DERIVADAS LATERALES.

La existencia del límite es equivalente a que existan los límites a la izquierda y a la derecha de a, y que coincidan. A tales límites se les llaman, respectivamente, derivadas laterales por la izquierda y por la derecha de f en a, y se notan:

y

Por lo tanto, una función es derivable en a si, y sólo si es derivable por la izquierda y por la derecha en a, y además las dos derivadas laterales tienen el mismo valor: f'(a).

Análogamente:
y

EJEMPLO 2

Vamos a calcular la derivada, si existe, de la función en x = 1:
Calculamos la derivada por la izquierda:
Paso 1: f(1+h) = (1+h)2 = 1 + 2h + h2
Paso 2: f(1) = 12 = 1
Paso 3: f(1+h) - f(1) = h2 + 2h + 1 - 1 = h2 + 2h
Paso 4: [f(1+h) - f(1)]/h = (h2 + 2h)/h = h + 2
Tomando el límite cuando h ->0 obtenemos:
f'-(1) = 2
Ahora calculamos la derivada por la derecha:
Paso 1: f(1+h) = 2·(1+h) - 1 = 2 + 2h - 1 = 2h + 1
Paso 2: f(1) = 12 = 1
Paso 3: f(1+h) - f(1) = 2h + 1 - 1 = 2h
Paso 4: [f(1+h) - f(1)]/h = (2h)/h = 2
Tomando el límite cuando h ->0 obtenemos:
f'+(1) = 2
Por lo tanto, como lo límites laterales existen y son iguales, existe el límite, y es:
f'(1) = 2
arriba

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Consideremos la gráfica de y=f(x) y en ella el punto A(a,f(a)). Sea el punto P(x,f(x)) distinto del punto A.


La pendiente de la recta secante es:

Si hacemos x->a, el punto P se va aproximando al punto A, y la pendiente de la recta AP a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A:

con lo cual la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A(a,f(a)) es la derivada de f en el punto a.

arriba

OBSERVACIÓN:

Teniendo en cuenta el concepto de derivadas laterales, si éstas existen pero no coinciden, habrá dos "pendientes", lo que gráficamente implica que la función no sea derivable. Estos serán puntos "angulosos" o de "picos".

EJEMPLO 3

La pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación f(x) = x2 - 3x + 2 en el punto de abscisas x = 4 es 5, ya que f'(4) = 5, como vimos en el EJEMPLO 1.
arriba

ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL

Sea (f,D) derivable en a. La pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en x = a es f'(a), luego la ecuación de la recta tangente será:
y - f(a) = f'(a) (x - a)

Puesto que la perpendicular, de pendiente m', verifica que: m' · f'(a) = -1, luego la ecuación de la recta normal a y = f(x) en x = a será:
y - f(a) = [ -1/f'(a) ] (x - a)

EJEMPLO 4

Ecuación de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación f(x) = x2 - 3x + 2 en el punto de abscisas x = 4.
Como f(4) = 6 y f'(4) = 5 es:
Recta tangente: y - 6 = 5·(x - 4) <=> 5x - y - 14 = 0
Recta normal: y - 6 = -1/5·(x - 4) <=> x + 5y - 34 = 0

volver al índice siguiente apartado